信息技术辅助中学数学思想方法教学理论基础

　　第 2 章 理论基础

　　2.1 概念界定

　　2.1.1 数学思想

　　所谓"数学思想",是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，通过思维活动而产生的结果。它是人们对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想分为数学的基本思想和数学思想两个层面。[20]

　　数学的基本思想和数学思想都是对数学知识、方法、规律的本质认识，属于"认识论"的范畴。数学的基本思想属于上位概念，主要包括推理思想、抽象思想和模型思想。而"数学思想"则是数学的基本思想的下位概念，也就是"基本思想"的子概念。它是由"数学的基本思想"演变、派生、发展出来的。比如，"抽象的思想"可以派生出：分类的思想，集合的思想，符号表示的思想，对应的思想等；"推理的思想"派生出：归纳的思想，演绎的思想，数形结合的思想，转化的思想，类推的思想等；模型的思想可以派生出：函数的思想，方程的思想，优化的思想，统计的思想等等[20].

　　2.1.2 数学方法

　　所谓"数学方法"就是解决问题的程序和策略。在运用数学思想解决具体问题时，会形成程序化的操作，就构成"数学方法".数学方法是数学思想的具体体现。属于方法论范畴。[21]

　　数学思想是精神文化层面的，而数学方法是技巧操作层面的，方法是思想指导下的一种显性的行为，它是有迹可循的。比如，我们可以在学生的练习本和草稿纸上找到分析问题的方法，可以在学生的动手操作中发现处理问题的方法，甚至还能通过学生的只言片语中搜索到思考问题的方法。学生在遇到数学问题时，总是乐于提取自己头脑中储存的各种方法去解决问题。初中学段经常用到的数学方法主要有：分析法、递推法、列表法、图象法、消元法、割补法等等。总之，在数学学习的过程中，我们时刻都能感受到方法的存在。

　　2.1.3 数学思想方法数学思想与数学方法有着密不可分的关联。思想指导方法，方法体现思想。

　　同一数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的意义和价值时，称之为思想。强调指导思想，解题策略时，称之为数学思想；强调具体操作时，称为数学方法；人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法，而选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。两者关系密切，息息相关。[21]

　　中小学阶段教学内容比较简单，数学思想与数学方法的界限也很难区分，更多的是体现在二者的联系方面，如常用的分类思想和分类方法，转化思想和转化方法等，在本质上基本上是一致的。所以义务教育阶段通常把数学思想和方法融合成一个概念，即数学思想方法[21].

　　数学思想方法是数学核心素养的重要组成部分，它是发现和提出数学问题的源泉，是分析和解决数学问题的根本。

　　2.1.4 信息技

　　信息技术在不同层面有不同的定义：宏观信息技术是指能充分利用与扩展人类信息器官功能的各种方法、工具与技能的总和。该定义从哲学上强调了信息技术与人的本质关系。中观信息技术是指对信息进行采集、传输、存储、加工、表达的各种技术之和。该定义强调的是人们对信息技术功能与过程的一般理解。

　　微观信息技术是指利用计算机、网络、多媒体等各种硬件设备及软件工具与科学方法，对文图声像各种信息进行获取、加工、存储、传输与使用的技术之和。主要包括数字技术、模拟数据处理与通信、以及机电技术等。该定义强调的是信息技术的现代化与高科技含量[22].

　　2.2 理论基础

　　2.2.1 波利亚教育思想

　　波利亚对于数学教育的目的、价值和方法研究非常重视。他认为中小学数学教育必须弄清楚三个主要问题：一是为什么要学数学；二是要学什么样的数学；三是通过什么途径学好数学。换言之，中小学阶段的数学学习，是以怎样"学数学"为主呢，还是以学如何"用数学"为主，这个问题首先要搞清楚。波利亚认为，中学数学教育的根本任务，就是"教会年轻人思考".这种思考既包括有目的的思考，也包括产生式的思考，还包括形式的、非形式的思维。

　　《数学的发现》[4]是波利亚的一部巨着，在这书里，作者对数学的思考方法和思维路径作了重点阐述。大到如何做学问、如何发现数学里的新命题，小到怎样解题。为了回答"一个好的解法是怎样想出来的"这个令人疑惑的问题，波利亚对解题的思维过程进行了专门研究，并撰写了《怎样解题》[5]一书。这本书的核心内容是一张分解解题思维过程的"怎样解题表".这张表包括"弄清问题"、"拟定计划"、"实现计划"和"回顾"四大步骤，其中第二个步骤"拟定计划"的分析，是最引人注目的内容。波利亚认为，寻找解法关键是找出已知数与未知数之间的联系，如果找不到直接联系，就要考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。在《数学与猜想》[6]一书中，作者通过许多古代着名的猜想，对论证方法进行了研究和探讨，比利亚认为，不仅要学习论证推理，还要学习合情推理，这样才能丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，《数学与猜想》（第 1 卷）所列举的案例，涉猎面很广，包括数学学科、物理学科等，全书内容翔实，讲古论今，置于其中，能充分感受到数学的奥妙和真谛。

　　2.2.2 基本结构思想

　　在认知发展上，布鲁纳认为"一个教学理论实际上就是关于怎样利用各种手段，帮助人成长和发展的理论[23]".他认为学习的实质，不是学习者被动地接收知识，而是要主动地获取知识，把获得的新知与原有知识结构联系起来，形成新的知识结构体系。教师的作用，则是运用各种科学合理的教学手段，创设有趣的问题情境，帮助学生独立思考、自主探索，获得知识，积累经验，不断形成和搭建新知识结构与体系。

　　在教学方法上，布鲁纳主张"发现法".是指在学生的学习活动中，教师不硬塞给学生知识，而是让学生独立思考、自主探究，自行发现和解决问题的一种学习方法。他认为，学习是一种过程而不是结果。因此，他主张要让学生主动地去发现知识、发现问题和解决问题，而不是被动地接受。这就需要教师要进行教学方法的探索、探究与改进，引导学生转变学习方式，优化学习策略，逐步形成发现、提出、分析和解决问题的能力[23].

　　2.2.3 认知发展理论

　　（1）认知发展理论

　　皮亚杰通过对儿童认知发展过程的研究发现，儿童的认知发展主要经历了感知运动（0-2 岁）、前运算（2-7 岁）、具体运算（7-12 岁）和形式运算（12-15岁）四个阶段。从心理认知发展时期来看，初中生正处于由具体运算向形式运算过度的时期[24],如何顺利从具体运算向形式运算过度，如何将数学知识由具体应用变成抽象应用，知识的难度是在递增的，但其中数学思想方法是不变的。

　　皮亚杰认为，认知发展具有阶段性特点，而每个阶段的心理发展都存在一定的关键期。也就是某些心理品质、知识技能、或行为方式形成的最佳时期，如果错过这个最佳时期，这种认识、技能或行为方式就很难在形成，并对后期的发展也会产生难以挽救的影响。

　　（2）认知结构理论

　　皮亚杰认为，学习过程是一个认知结构的发展和变化过程，这个变化是通过"同化"和"顺应"两种方式来完成的[24]."同化"是指学习者把学到的新知识主动纳入到自身原有的认知结构中去，并将新的学习内容进行信息加工、改进与完善，使它们与原来的认知结构相适应。所谓"顺应",是指学习者原有的认识结构，不能同化、接纳、新的学习内容时，学习者要对原来的知识结构进行调整或改进，反过来去适应新的学习内容。数学基础知识不具备"同化"功能，不能对学习内容进行加工和改造。只有数学思想方法才能既提供思维策略，又能提供实施目标的具体手段，即解题方法。

　　2.2.4 克莱因数学教育思想

　　美国数学家教育家莫里斯·克莱因认为，教师应该教实用性的、有用的数学，而不是期望学生自己因数学的美妙而沉浸其中。他强调数学研究应致力于解决其它领域中展露的问题，而不是仅凭数学家们自己的兴趣来建立数学的煌煌体系。

　　克莱因倡导每位老师都应该变成一个演员，有足够的课堂技巧，能使用剧院中的每件道具来增添生气，以此刺激学生的各种感官，激发学生的学习兴趣。克莱因认为，数学的发展，不是由推导获取的，而是由创建得来的，应构建概念与技能，从最简单的例子到越来越复杂的理论，在完全理解的基础上，才去推导公式。应让学生学会构建的方法，包括让学生去学会猜想，去构思、去探索证明及创造性地思考，推导只是最后的一步[8].

　　2.2.5 信息技术应用的理论基础

　　（1）视听教学理论[25].美国教育家戴尔创建了以"经验之塔"为核心的视听教学理论，这一理论所阐明"经验抽象程度的关系",不但是视听教育心理学的理论基础，更是现代教育技术学的重要理论基础，信息技术正是凭借着它的各种视听教学媒体明确了其在教学中的地位与作用。

　　例如，在进行初一数学《截一个几何体》教学中，学生通过动手实践截不同的几何体时，可以发现并体验不同的截法会得到不同的截面。但在实际操作中因容易产生误差而导致截面图形的不规则，影响了学生的判断结果。教师应在学生动手实践之后，通过信息技术对立体图形的各种截法进行展示；通过演示，学生不但可以很明确的看出截面的形状，还可以直观看出"面面相交产生边，从而形成多边形".此时，信息技术不仅其形象和精确效果优于实践结果，更促进了学生归纳思想的形成，帮助他们理解了几何体不同截面的形成原因。

　　（2）学习理论[25].依据相关信息技术教育理论的基本观点，采用某种方式，将其同信息技术联系起来，促进学习者，凭借信息技术的特点和功能，进行有效的学习，改进学习方法，提高自身数学素质。随着信息技术的广泛应用，数学学习的软件日渐增多，对学生的数学学习起了很大的促进作用。例如，威海市的几所学校正在进行"优课"系统的实验教学。

　　优课系统中的每一项功能有其不同的作用，其中一项功能是对学生做错的题目进行统计、累积，学生可以在这项功能中重复的练习并查看解析。通过错题的二次练习，学生可以对自己的错题进行适当的归类，发现这一类系列题目的错因，寻找解决方法，从一定程度上促进了学生归纳思想和数学方法的应用。

　　（3）教育传播理论[25].信息技术的研究和应用实际上要分析教学内容，选择设计媒体，评价教学效果，其实质是要研究传播信息、传播媒体和传播效果等，这些是以教学传播理论为基础的。　现下最流行的教育信息技术当属微课教学。通过教师的合理设计，一个微课程可以解决一个或小或大或重要的问题，而且微课不仅可以在课堂上播放，更可以通过网络在任何一台电脑上播放，不受时间和地点的限制，更重要的是，它可以根据学生的实际需要进行重复播放，对于课堂听讲效率不高的学生来说是一件十分有效的学习方式，对数学思想方法的理解和形成也是非常有帮助的。