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【题目】基于新课标下的小学数学收敛思维运用探究
【第一章】2011版新课改下小学数学收敛性思维应用导论
【第二章】收敛思维文献综述
【第三章】小学数学教学运用收敛思维的类型和教学模式
【4.1】收敛思维融入小学数学的原则
【4.2 4.3】收敛思维融入小学数学课堂的教学策略
【结语/参考文献】收敛思维在小学数学中的使用研究结语与参考文献
第三章 小学数学运用收敛思维的特征和教学模式
《数学课程标准》提出："教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。"在数学学习的众多模式中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能方法，是得到充分探索和数学交流的机会。这些都得益于及时有效地进行发散再收敛的指导，对数学学习吸收知识有非凡的作用。
小学数学教学中，教师应该根据教材内容多运用收敛思维，让教材内容在充分发散的同时得到深层挖掘，把学生的求知欲和学习积极性彻底地发挥出来。小学中高段数学体系则更需要在挖掘发散思维后及时有效地把思维收敛。其中有一部分教学内容是不适合使用收敛思维的，但其它很大一部分完全可以使用收敛的。根据教学实际来看，低段和高段使用收敛思维是有所区别的。低段是用收敛思维发展学生思维能力的基础阶段。打好基础很关键，为以后的学习作好扎实的铺垫。高段是用收敛思维发展学生思维能力的关键阶段，这个时候如果学生深入学习数学的思维能力被培养成功，那么学生学好数学就能进入良性发展阶段，能够在中学的学习中发挥良好的作用。
小学数学低段教学内容中适用收敛思维教学的内容有：
1、 数的认识和四则运算。
2、 图形的认识。
3、 解决问题。
高段的教学内容相对来说几何学习的部分更多更难，学生需要掌握的知识点更多，从而是学生容易进入死记硬背的怪圈，所以适当安排收敛思维可以提高学生学习的效率。小学高段数学教学内容中适用收敛思维教学的内容有：
1、 因数和倍数。
2、 多边形的面积。
3、 解决问题。
一、收敛思维的特征。
在数学教学中运用的收敛思维教学方法有其区别于发散思维的特定特征，根据实际我们归纳整理发现收敛思维有以下几个特征。
（一）集中性。
数学教学应用收敛思维方法，指向思维定点以后，保证目标指向根本所在，逐层研究，不被中间各种变数所影响，从而最大限度地减弱周围因素对思维的影响。思维目标集中，能更好地探究到数学体系的本来面目。因此收敛思维的第一个特征就是集中性。
（二）综合性。
收敛思维是将众多的思维路径集中到其中一个问题的中心上，以这一中心为根本所在，逐层研究，在多种方案中寻找最佳方法。而思考多种目标处理的方法，能够正确找到最优的路径或方案，需要综合思考多种思维方案，辅以综合的比照和解析。因此收敛思维的另一个特征就是综合性。这种综合不是单纯的把各种方案整合起来，而是有根本目的性的有用的整合。
（三）程序性。
程序性是指集中性在具体程序上的严格体现，我们说收敛思维在思考问题时有明确的集中性，因此在这一思考过程中需要严格地遵守思考的步骤，第一步干什么，第二步干什么，步步紧扣，解决问题时有一定的参考过程。
（四）推理性。
推理性是指每一步探索得出的结论和推断，都是在前面几步推理的成果基础上进行的研究，研究不会单独进行。所以，收敛思维拥有非常深的抽象性，其中承载着众多抽象思维的节点。
（五）排除性。
在确定思维的目标时，能够发散到其它思维路径上，但是确定研究的主题目标时，需要把研究问题的指向回到确定的目标，这样就得排除一切与主题目标不相符的思路，思维活动永远紧密地围绕主题目标开展。所以上述的四个特征导致了收敛思维的排除性特征。
二、小学数学教学运用收敛思维的模式。
数学教学模式的合理选择，是学生在课堂学习过程中得到最好授受环境的基础条件。《数学课程标准》中提到以学生全面发展为中心，以有价值和有意义的学习方式为基本点是数学教育的真谛。教师要在课堂中留给学生足够的思考时间和空间，重视知识的形成和发展，达到增加学生兴趣、培养数学意识和能力的目标。
笔者在研究收敛思维的同时，发现对于不同的教学情景，我们需要选择不同的教学模式，下面结合具体情景探讨收敛思维在小学数学教学中的几种问题解决方式。
1.找同。
如果一个问题在很多种不同模式里存在，而只有一个共有的特征存在于这些不同模式里，我们就认为这个共有的特征是解决这个问题的方法。
那么，我们发现四道算式共同的特征是循环节为被除数的十位和个位两个数字组合而成。以此类推，77÷99= 54÷99= 82÷99= 等算式直接可以写出答案。
2.找异。
如果一个问题在第一种模式里存在，在另一种模式里不存在，而这两种模式只有某一个特征不同，我们就认为这个共有的特征是解决这个问题的方法。如巧拆分数：
3.同异共找。
如果在一个问题出现的多种模式里，只有一个共有的特征，而在这个问题不出现的另一些模式里，不出现这个共有的特征。我们就认为这个共有的特征，就是形成解决这个问题的方法。如数三角形的个数：
这两种模式形状变化不同，但是三角形个数变化却是相同的。其主要原因是组成基本数学元素的物质是相同的。
4.共变。
在剩余特征不变的前提下，某一特征改变使某一问题也发生改变，我们就认为这个特征是导致这一问题概念的主要因素。如解决平均数应用题时：
小同期末考试语文得 85 分，数学比英语多得 5 分，那么英语要考多少分，3 科平均成绩才能达到 90 分？
解法一：把 3 科的总分算出来，减去语文的成绩，就是英语和数学的总成绩。
但如果转变一下思路，就会发现解法二：语文 85 分比平均分少 5 分，数学正好比英语多 5 分，采取"移多补少"的方法，数学应得 90+5=95（分），英语就是平均分 90 分。
5.删余。
某一类问题是由多种因素构成的，研究发现一些特征和一些因素有直接的关系，我们就把这些特征和因素删减掉，余下的特征里也一定有直接的关系。如年龄问题里，剥去其它各种影响题目的因素后，最终发现两人之间的年龄差距是不变的：
现在甲、乙两人的年龄的和是 44 岁，3 年前甲比乙大 20 岁。问：现在甲、乙各多大？
这题就是最后紧抓现在甲比乙仍大 20 岁这个条件来解决问题。
6.完全归纳。
通过对一些问题的所有特征的研究，显示这些特征有共同的联系。我们就认为：这些问题都有共同的联系。如还原问题：
还原类问题的解法是：怎样来的就怎样回去！也就是说，原来是加法，回过去是减法；原来是减法，回过去是加法；原来是乘法，回过去是除法；原来是除法，回过去是乘法。除去其他各种因素，这类问题的解法是解决词类问题的共同方法。
7.部分归纳。
通过对一些问题部分特征的研究，显示这些特征都有共同的联系，不存在与之不尽相同的因素。我们就认为：这些问题都都有共同的联系。如用对应逻辑推理类问题就需要部分归纳：
甲、乙、丙、丁四人参加了一次"是非题"的考试，每道题 10 分，10 道题共 100 分。
4 人的解答和所得分数如表，丁得几分？
此题需要通过对乙丙进行比较，因为乙比丙多对两道题目，而他们的答案只有第 6 题和第 9 题两处不同，可知 6、9 两题的正确答案为√、×。有次局部突破，解题也就顺利了。
我们不可能找到一种固定的课堂教学模式，那样就会进入一个天然的误区。因为每个模式都有特定的教学特点，需要我们去寻找对应。教学模式的不断改进和发展是教学改革的必然产物。我们要继承和发扬传统的教学模式，在它们的优势基础上不断发展、不断创新，并借助新科技的辅助教学设备与传统模式有机结合，形成适合自己的教学模式和教学风格。
因此课堂是一种难以琢磨的艺术。
