在实际生活和经济活动中, 很多问题都与数列密切相关.如分期付款、个人投资理财以及人口问题、 资源问题等都可运用所学数列知识进行分析,从而予以解决. 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用. 数学家华罗庚曾经说过:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学. " 这是对数学与生活关系的精彩描述. 下面笔者将举几个生活中的小例子来浅谈一下数列在日常生活中的运用.
一、在生产生活中
在给各种产品的尺寸划分级别时, 当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时, 常按照等差数列进行分级. 若为等差数列, 且有an=m,am=n. 则 a(m+n)=0.
其实等差数列生活中处处可见, 关键是发现它, 并用以解决实际问题. 在路灯的排列、银行的按揭贷款、银行的利息结算等等.
例如 1 台电脑售价为 1 万元, 如果采取分期付款, 在 1 年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案 (月利率为 1%). 假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑,除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式. 你能帮他们参谋选择一下吗?
方案 分几次付清 付款方法 每期所付款额
方案 1.分 6 次付清. 购买后 2 个月第 1次付款, 再过 2 个月第 2 次付款……购买后12 个月第 6 次付款
方案 2.分 12 次付清. 购买后 1 个月第 1次付款, 再过 1 个月第 2 次付款……购买后12 个月第 12 次付款
方案 3.分 3 次付清. 购买后 4 个月第 1次付款,再过 4 个月第 2 次付款,再过 4 个月第 3 次付款
分析:
思路 1: 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第 12 个月的欠款数为 0 元.设每次应付 x 元,则:
二、细胞分裂中的数列
自然界是由许许多多的细胞组成的,细胞分裂产生新的生命, 人的孕育也是由细胞分裂开始的. 以某种细胞为例我们一起来分析一下细胞是如何分裂的.某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成2 个,经 过 5 小 时,这 种细胞由 1 个 分裂成几个?经过 N 小时,细胞由 1 个能分裂成几个?
该细胞分裂数是公比为 2 的等比数列方式增加.
显然不用减去那最初的一个母细胞了,因为题目问的是:"经过 5 小时, 这种细胞由一个分裂成几个,"当然是 1024 了,又不是问由一个分裂"出"几个,那就要减去最初的母细胞了.
显然 N 时后,该细胞会由一个分裂"成"2(k-1)个(k 为自然数,k=2N+1)即:N 时后,会有22N个细胞,(其中 N 表示整时,单位为时,N=0,1,2,3,……)因此,经过 N 时后,细胞由一个分裂成22N个(N=0,1,2,3,…)
三、爬楼梯
小明同学在小的时候喜欢爬楼梯, 不为什么,只是觉得这种阶梯状的建筑非常好玩,等到他长大了,可以一次跨上一级,也可以跨两级,所以,他想知道,有多少种不同的上到楼梯顶端的方案.首先假设楼梯只有一级,那么小明只有一种爬法;如果有 2 级,那么小明可以一级一级地往上爬,也可以一次就上两级,用算式表示为 1+1 或 2, 说明他上 2 级楼梯有 2 种不同的爬法;如果有 3 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级,那么还剩下 2 级, 上面已经讨论过了有 2 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 1 级,上面也已经讨论过了,只有 1 种爬法;合计起来就有 2+1=3 种不同的爬法. 有算式表示为3=1+2(2 种 不同的爬法 )=2+1(1 种 不同的爬法);如果有 4 级,小明的第一步可以上一级,也可以上二级. 如果上一级, 那么还剩下 3级,上面已经讨论过了有 3 种不同的爬法;如果上二级,那么还剩下 2 级,上面也已经讨论过了,有 2 种不同的爬法;合计起来就有 3+2=5 种 不同的爬法 . 用算式表示为 4=1+3(3种不同的爬法)=2+2(2 种不同的爬法);……照这样推下去, 可以得一串斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……由此可知,爬上有 10 级台阶的楼梯,一共有 89 种不同的爬法.
随着科学的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生, 我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题,这样才能更好地适应社会的发展和需要. 数学既不严峻,也不遥远,它既和所有的人类活动有关,又对每一个真正感兴趣的人有益. 数学研究、科学研究从身边的活动做起. 让我们从一个小小的数列开始,多思考,找规律,相信任何问题都可以迎刃而解的.
