《义务教育数学课程标准（2011 年版）》倡导有效的教学活动是学生学与教师教的和谐统一，明确提出教师要在数学教学活动中把基本理念转化为自己的教学行为，并提高教学效益〔1〕。由此可见，如何改善数学教学行为，提高教学活动的有效性，实现高效数学课堂，不断提升课堂教学的品质，是数学教学追寻的永恒话题。
一、教师具备“爱和智”的综合素养是实现高效数学教学的基础
为促进小学教师的专业化发展，改善教师的课堂教学行为，教育部出台了《小学教师专业标准（试行）》，并从专业理念与师德、专业知识和专业能力三个维度提出了教师专业化发展的基本要求。三个维度中“爱和智”是教师专业化成长的核心内容之一。因为教育不能没有爱，但爱不等于教育（有智的爱）；教育需要爱，教育还需要智慧（有爱的智）。因此，教师具备“爱和智”的综合素养是实现高效数学教学的基础条件。
这里所说的“爱”是指对教师专业的爱、对数学的爱和对学生的爱等。热爱教师职业是每一个教师必须具备的最基本的职业道德；对数学的爱体现为热爱数学并能感悟到数学的价值，如数学的应用价值、认识价值（借助数学语言和数学思想方法来认识事物）、智力价值（观察力、注意力、记忆力、思维力和想象力）、精神价值（理性精神及求实精神）和美学价值（简洁美、统一美、匀称美及奇异美等）；对学生的爱是教师的职业特点和应有的感情修养，其中，喜欢学生和读懂学生是爱学生的基本要素。这里所说的“智”是指数学专业知识的积淀和专业能力的形成，主要体现为数学才智和教学智慧等。有学者关于高效数学教学行为归因的研究表明：清晰把握数学知识体系、洞悉教学内容的内在联系，具有不断丰富数学哲学、数学方法论、数学史、数学文化和数学教与学等知识储备是产生高效数学教学行为的原因〔2〕，这是数学才智的核心。关于高效数学教学行为特征的研究表明：智慧性是高效数学教学行为凸显的特征之一，是指在选择教学内容、教学方法和调控教学节奏等方面显现的教学智慧〔3〕。其中，教学智慧体现了教师应对复杂课堂教学场景时的综合素养和追求课堂幸福生活的教学境界，可以是教师应对数学课堂问题或教学矛盾时应采取睿智行为的方式，可以是引发学生形成认知和情感困惑从而激活其数学思维的教学机智，也可以是对数学课堂中动态生成的非预期现象的迅速、灵活的判断能力和调控能力等。
二、创设“愤悱”情境，实施启发式数学教学是实现高效数学教学的前提
数学是思维的科学，数学教学是数学思维活动的教学。而数学思维是在学生自己的头脑中进行的，是教师无法替代的，也是不能简单传授的，但在课堂教学中也离不开教师的有效启发和适时点拨。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出要注重启发式和引发学生的数学思考，实行启发式教学有助于落实学生的主体地位，教师通过启发式教学，能够有效地启发学生思考，由此彰显出数学教学中实施启发式教学的必要性和特殊性。
（一）启发式数学教学的实质
启发式数学教学是指具有数学学科特点的启发式教学。它要求教师从学生已有的数学知识、活动经验和认知水平出发，通过创设“愤悱”情境，使学生形成认知冲突、疑难和问题，处于“欲知还不知，欲言还未能”的“愤悱”状态，从而经历必要的认知和情感的困惑，以此激活数学思维，在学生头脑中引发深度的数学思考活动，从而把握数学内容的本质〔4〕。
如在“平均数”一课的学习活动中，教师通过创设拍球比赛的情境，让男生队和女生队各派一名队员参赛，然后决出胜负，之后，每队派四名队员拍球再决出胜负。拍球数少的队不服气，于是老师加入该队后该队胜出，使学生再次产生认知冲突、产生新矛盾和新问题，体会两组人数不等时无法比较每组的拍球水平。引出学生学习“平均数”的需求，探究“平均数”本质。通过这样的活动设计激活了思维，使学生不断地发现问题、提出问题，把握了数学问题的实质。
（二）“愤悱”数学教学情境的特征
1.引发认知和情感的困惑并生成启发性的数学问题
“愤悱”的数学情境要有利于学生产生疑难、问题或困惑，使其成为学生认知的基础、思维的动力和路标，从而最大限度地引起学生的认知冲突，进入疑难和困惑的“愤悱”状态，使数学情境引发的问题成为有效引导学生思维的持续性要素。启发性的数学问题是指能够激活学生的思维，引发学生在头脑中展开激烈的数学思考活动的问题，使之引起强烈的思考动机和最佳的思维定向，使数学情境及生成的数学问题成为促进儿童数学思考和数学理解的动力机制。
如在“平均数”课例中〔5 〕：教师创设男女生拍球比赛的情境，男女生各派一名同学进行比赛，10 秒钟后男队拍了 19 个，女队拍了 20 个，教师宣布女队胜利，男生不服气，从中发现问题，认为一个人代表不了大家的水平，于是每队各派 4 人重赛，结果男队成绩是 17、19、21、23，女队成绩是 20、18、15、23。男队拍球总数 80个，女队拍球总数 76 个，教师宣布男队胜利，女队不服气，进一步发现问题、产生困惑。教师加入女队，拍了29 个，算出女队总数是 105 个。教师宣布女队胜利，使学生进一步产生认知冲突和困惑，生成启发性问题。男生认为这样不公平，因为女生拍球时多一个人，从而引发学生持续思考。教学中，教师通过设置拍球比赛情境，使学生不断发现问题，形成认知冲突或问题，进入疑难和困惑的“愤悱”状态，不仅激活了学生的思维，还启发学生主动积极地动脑进行数学思考，在其头脑内部展开激烈的数学思维活动，最终形成运用数学眼光和数学方法解决问题的意识。
2.自然贴切，有利于达成数学教学目标
自然贴切是指既在学生的最近发展区内创设数学情境，又与新学习的数学内容自然衔接、有机融合；既基于学生已有的数学认知结构，又是已有认知结构的自然发展和完善，从而使新学习的内容与学生认知结构中的适当数学知识、活动经验等建立自然的、实质性联系。以学生已有的数学知识和经验为生长点生成新知识，使数学情境与数学学习内容以及学生的思维活动自然、有机地融通，突出数学的本质，达成数学教学目标。
在“平均数”课例中〔5〕，教师进一步设问：看来，人数不等就无法比较每组的拍球水平。怎么办呢？学生说求平均数。教师追问：如何求平均数呢？学生进一步探索数学方法，理解平均数。学生逐渐感知到平均数就是把大数往小数上匀一匀；平均数比最大的数小一点，比最小的数大一点；平均数不是具体一个人的拍球数量，而是代表一组数的平均值。
拍球比赛情境源于儿童的动手操作经验和已有认知结构中的加法等知识。然而，以此为生长点使学生认识到用拍球的总数判断两个队的获胜情况已经不合适了，从而经历了思维和情感的困惑，由此产生学习平均数的内在认知需求，感悟到平均数引入的必要性和优越性，从而使平均数这一数学知识自然生成，以此探索研究问题的数学方法、形成数学模型，逐步把握平均数的本质。
三、追寻平实自然、合乎情理的数学课堂是实现高效数学教学的核心
数学概念、符号、公式和数学方法等的起源与发展是自然的，是在解决问题的过程中由于已有数学概念和方法等不能满足需要，为进一步研究问题而产生的。因此，高效数学课堂教学应当是平实自然、合乎情理的。
高效数学课堂力求使学生感受到新数学内容产生的必要性和优越性，认识到数学概念、公式、符号和方法等不仅合乎情理，甚至是很有人情味的，从而使学生产生认识和情感的内在需求，感悟到数学知识和思想方法的生长是自然、合乎情理的。比如，周长、加法交换律和结合律、正反比例、平角周角、＜、＞、∥、⊥等概念和符号的引入自然而平实；在“百分数的认识”一课中，教师通过创设学生投篮次数的情境，研究命中率问题，使学生认识到借助已有的分数直接比较已经不方便了，需要引入新的数；在“公顷的认识”一课中，教师呈现用平方米表示的天安门广场和故宫面积的图片，使学生发现数字较大、表达不方便的问题，体验到平方米表示更大的面积不够用了，才需要自然引入更大的面积单位公顷。
这里所说的“自然”主要体现为“愤悱”情境创设自然，提出数学问题、解决数学问题和拓展数学问题自然，思维过程和思考方法展开自然等。合乎情理则意味着数学教学设计和实施要遵循教与学的规律、学生的认知发展水平、年龄特征和数学教学特点。
四、营造既有温度又有浓度的课堂是实现高效数学教学的关键
（一）营造数学温度舒适的高效课堂
高效的数学教学是既有数学温度又有数学浓度的教学。由于数学是思维的科学，数学教学是数学思维活动的教学，因此，数学课堂的温度不在于课堂表面的热闹和花哨，而在于以学生教学数学思维的深度为核心。其中，数学思维的含量、思维的参与度和思维的强度是数学课堂温度的重要表征。温度适宜的数学课堂是学生行为参与、思维参与和情感参与的“三位一体”的深度融合。数学教师的智慧体现在善于使学生经历数学思维的波澜和冲浪。
上述“平均数”一课中，教师营造了数学温度适宜的高效课堂，体现了学源于思，思源于疑。学生通过动手操作、直观感知，多次经历思维和情感的疑难及困惑，不断形成问题，以此引发深层的数学思考，从而产生引入平均数的内在学习需求，这体现了学生的行为、思维和情感的深层参与。
（二）营造数学浓度适宜的高效课堂
数学课首先要关注学生在数学上的发展和进步。数学课堂的浓度体现为具有足够的数学味并突出数学内容的本质。小学数学教科书中“解决问题的策略”、“爬行得最慢”的哺乳动物、“天平中的游戏”、“买球”、“整理房间”和“分桃子”等课题从字面上看不出本节课数学的核心知识或重点内容，需要在学习过程中师生共同抽象、提炼和生成核心数学知识和方法。因此，教师既要加强数学与生活的联系，又要避免过分生活化而稀释了应有的数学味。
数学课堂的浓度还体现在教师启发学生透过现象把握数学的本质。笔者曾观摩过“图形的旋转”一课，教师通过实物呈现风车的旋转并借助课件展示停车场的拉杆，使学生感受生活中的旋转现象，之后让学生动手操作直角三角形纸片直观感知其绕直角顶点旋转 90°后的图形，以此为基础画出旋转后的直角三角形。让学生思考如何画出围绕直角顶点旋转 90°后的对应图形。观课中，笔者发现许多学生未能准确画出旋转后的直角三角形。究其原因在于教师在教学过程中只注重直观感知和动手操作让学生认识旋转现象，而缺乏从拉杆中抽象出线段旋转的关键是要确定对应端点、三角形旋转的关键是要确定对应顶点的感知，使得学生在突出数学本质的抽象思考过程经历得不够。
总之，高效的数学教学需要教师运用富有启发性的提示语，适时适度地点拨和引导学生学会数学思考，从而使学生拥有数学的眼睛、数学的思维和数学的表达。
参考文献：
〔1〕中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011 年版)〔S〕.北京：北京师范大学出版集团，2012．
〔2〕王光明.高效数学教学行为的归因〔J〕.数学教育学报，2010，（5）：75.
〔3〕王光明.高效数学教学行为的特征〔J〕.数学教育学报，2011，（1）：35.
〔4〕韩龙淑.数学启发式教学的基本特征〔J〕.数学教育学报，2009，（6）：6.
〔5〕教育部师范教育司.吴正宪与小学数学〔M〕.北京：北京师范大学出版集团，2006．
