一、引言
在全球范围内，通货膨胀已经成为一种普遍的经济现象。
随着通货膨胀迅速蔓延和资本市场波动加剧，通货膨胀与资本市场尤其是股票市场的关系问题已经成为金融学研究的热点问题之一[1]。
20 世纪 70 年代以前，西方经济学家一般认为股票代表着实物资产的求偿权，因此当经济出现通货膨胀时，股票应该是规避通货膨胀风险的一种较好的资产。1930 年费雪提出关于实际利息率独立于通货膨胀率的假说，认为资产的名义收益率等于实际收益率与通货膨胀率之和，股票是通货膨胀保值资产，股票名义收益率与通货膨胀率呈正相关关系[2]。Anari、Kolari 以股票价格指数的对数增量和物价指数分别代替股票收益和通货膨胀率进行研究，利用 1953 年到 1998 年期间共 564 个月度数据对美国、加拿大、英国等六个发达国家进行了实证检验，实证结果表明投资者在股票持有期较长时间段内，这些国家股票市场费雪效应在统计意义上显着成立[3]。
但并不是所有研究结果都是支持费雪效应结论的。一些文献表明股票收益率与通货膨胀率之间的关系并不是呈现正相关的关系。Nelson 证实通货膨胀率与股票收益率呈负相关关系。
Adrangi 等对墨西哥和韩国的股票市场数据分析，Lee 对新兴市场国家或地区如新加坡、韩国、香港等股市的检验，都发现收益率与通货膨胀率统计意义上非正相关关系。针对实证结果出现的费雪效应悖论，一些学者从经济学角度提出了一些经济假说如：风险溢价假说、税收效应假说、货币幻觉假说、代理假说、波动性假说、名义契约假说等[4]理论予以解释。
还有一些研究证实了通货膨胀与股票收益比较复杂的关系，如 Boudoukah 等研究发现，股票收益与通货膨胀之间的统计结果与投资资产的时间长短有关，短期内预期股票收益率与通货膨胀呈反向变化，但是长期来看二者呈正方向变化。韩学红等认为如果通货膨胀率的上升动力来自于供给冲击， 那么两者负相关；如果来自于需求冲击则正相关；同一时期的正负相关关系取决于供给和需求冲击动力的相对强度。
以前的研究局限于特定国家通货膨胀与整体股票收益率之间的关系，鲜有论文对通货膨胀与某一类股票 （如农业类股票） 的收益关系进行研究。本研究拟用现代数学方法—小波理论分析通货膨胀率与农业股票收益率在不同尺度下(Differenttime horizons)的相关关系，得到投资者的投资与农业股票有效期限建议。论文的第二部分介绍了小波分析的基本原理，第三部分描述了小波分析的文献综述，第四部分阐述了实证数据的来源和统计分析，第五部分对通货膨胀率和农业股票收益率两者之间的关系进行了实证分析，第六部分从经济理论上对实证结果进行了分析。
二、小波分析方法的基本原理
时间序列研究是金融数量分析中常见的方法，其包括两种基本方式，分别称为频域和时域分析。时域分析具有良好的时间表述能力，但不能得到关于时间序列变化的更多性质；频域分析具有较好的频率定位功能，但适合对象仅为平稳的数据信号，经济学中的数据大多为具有明显的趋势或周期特征的非平稳时间序列，频域分析的适用对象较为狭窄。
1807 年，法国数学家傅里叶(Fourier)证明出任何周期函数都可以用一系列正弦级数或余弦级数来表示，开创了傅里叶分析。
傅里叶分析又称调和分析，主要研究函数的傅里叶变换及其性质，成为分析学中逐渐形成的一个重要分支。傅里叶分析描述了时域与频域之间内在的联系，可以揭示整个时间范围内信号的全部频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。建立在傅里叶分析基础上的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)技术奠定了现代数字化技术的理论基础。尽管傅里叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即 FFT 在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
从傅里叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。小波分析的思想来源于伸缩与平移方法，是以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷。小波变换不仅能够提供较精确的时域定位，还能提供较精确的频域定位。我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，小波变换成为处理非平稳信号的有力工具。
小波理论的兴起，得益于其对信号的时域和频域局域分析能力及其对一维有界函数的最优逼近性能，也得益于多分辨率分析概念，以及快速小波变换的实现方法。1981 年由 Morlet 提出小波分析(Wavelet Analysis)方法，它具有时-频多分辨功能，成为较好研究时间序列问题的工具，其能够充分反映原信号在不同时间尺度中的变化趋势，揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期。
小波变换把原始信号转化到时间以及频率二维平面上，可以把原始信号中看不见的信息在时-频域上显示出来。1988 年，Daubechies 创立了支持离散小波的二进制小波理论，得出了二进小波的正则性与多项式表示的条件，并构造了具有有限支集的正交小波基。通过小波分析，可以得到时间序列在某一时刻的频率特征及在时间-频率域上的变化规律。
Meyer & Mallat 的研究将信息处理计算机视觉领域中的多尺度分析思想成功引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的创新概念，将此前的所有具体正交小波的构造方法统一起来，进而给出将时间序列或图像分解为不同频率通道的分解和重构快速算法，即 Mallat 算法。Mallat 算法在小波分析发展中具有里程碑的意义。
Mallat 算法基本思想是信号的分解功能，可以将信号多层分解，每一层分解是将上次分解得到的低频信号再分解成低频和高频两部分。算法如下：
【公式】
其中，j 为分解尺度，k，m 为平移系数，h0，h1分别是低通和高通滤波器， Aj，m是低频信号，为尺度系数，Dj，k是高频信号，为小波系数。利用分解后的低频信号以及高频信号可以重构原来的序列，小波系数的重构关系可以表述为：
【公式2】
原始信号可以分解为高频部分 D1和低频部分 A1；低频部分 A1可以下一步的分解为低频部分 A2和高频部分 D2，如此经过 5 次分解之后，原始信号 A 就分解为 6 个部分，关系为 A=A5+D5+D4+D3+D2+D1，式中 D1，D2，D3，D4，D5分别为第 1 层至第 5层分解得到的高频信号，A5为第 5 层分解得到的低频信号。多分辨分析对低频信号部分进行进一步分解，而高频部分不再分解，如果要进一步分解，可以将 A5分解成低频部分 A6和高频部分 D6在实际应用时，原始信号的分解层数根据具体问题研究需要而定。
三、小波分析方法应用的文献综述
国外学者首先利用小波分析对经济管理中的问题进行了深入的探讨和应用。这方面的先驱研究工作由 W. Goffe，J.Ramsey，C. Lampart，R. Gencay 等学者完成[5]，尽管他们这些学者当时在经济学界并不为人熟悉。
Yogo(2008)将小波方法应用于二战后美国 GNP 序列的分析，将数据分解为周期大于 32 季度的趋势项，周期在 4~32 季度的周期项，以及周期小于 4 季度的噪声项。达到的周期项与Baxter and King 带通滤波法所达到的结果相似[6]。
Fernandez(2005)的研究收集了 1990-2002 年 G7 国、新兴亚洲市场、中东等 8 个股票市场指数，利用小波多尺度分析的方法实证结果表明 G7 国的股票价格对欧洲、中东等地区股票有显着影响，但在各种尺度上欧洲、中东等股票对 G7 国的股票影响不强[7]。Naccache(2011)用小波分析框架分析了石油价格的周期，以 MSCI(Morgan Stanley Capital International)作为全局指标，分析了石油价格与 MSCI 指标的关系，得到石油价格变化的周期大约为 20-40 年[8]。
Shahriar Yousefi(2005)对原油价格序列进行小波分解，对不同尺度下的数值进行建模并预测，最后达到的数值与现实期货数值进行比较，从而判断期货的价格是否被准确定价[9]。Rania Jammazi(2012) 将神经网络技术与小波分析结合起来，利用 Harr 将原油价格分解为不同层次，再利用神经网络理论进行预测，其预测的稳健性通过一些节点的收入和输出值来达到检验[10]。
国内学者也于 2000 年左右开始将小波分析应用于金融时间序列建模及相关应用领域的研究，取得了较好的结果，解决传统数量分析方法所无法解决的问题。刘会玉等(2004)的研究以小波诊断技术为基础，对近 50 年江苏省粮食产量变化进行了多时间尺度的分析。研究结果发现无论是大尺度还是小尺度，在未来的一段时间内，江苏省都将进入新一轮的粮食减产时期，针对粮食产量变化的这一趋势，进行了原因分析，并提出相应的建议。
张明阳等(2005)对湖南省建国以来粮食产量变化进行多尺度分析。分析结果表明：建国以来湖南省粮食产量变化具有明显的 5 年、13 年和 27 年的特征时间尺度和相应的周期性变化特征，并且特征时间尺度有逐步增加的趋势[11]。
在经济与金融领域，预测问题是十分重要的一个方面，国内外许多学者利用小波分析对其经济数据进行了预测。梁强等(2005)利用小波多尺度分析的功能，把握油价的非线性波动特征，对 Brent 油价进行了跨度为 1 年的趋势预测，将其预测结果与运用 ARIMA，GARCH，Hoft-Winters 等方法得到的结果进行了对比，表明基于小波分析的长期趋势预测法的预测能力是其他方法不能比拟的，反应了小波方法在石油价格长期预测方法中的有效性。
常振海、张德生和刘薇(2009)把小波多分辨分析理论和去噪理论人民币对港币的汇率的研究中，建立了 AR(1)-GARCH(1，1)拟合模型，研究表明其波动序列不具有明显的杠杆效应，而且与不去噪序列相比，预测精度明显提升。
高静等(2006)对上证指数间隔 10 分钟的时间序列数据进行了小波多分辨率分解与重构，并采用混合的预测方法对其进行预测，得到了比较满意的预测结果。随着对小波分析研究与应用的逐渐深入，以小波理论为基础的各种组合模型开始被应用于时间序列数据的分析和预测中，使得预测更具有可靠性。
曹跃群等(2009)的研究运用小波变换对 1976-2006 年间农民收入的波动关系进行预测分析，实证检验结果显示：全国农民人均纯收入增长具有 7 年和 40 年左右的特征时间尺度，与农民人均纯收入变化存在着 7 年和 40 年两个主要周期振荡保持一致。两个特征时问尺度叠加，可以预见在未来的数年内，全国农民人均纯收入将呈现绝对值快速增长、增长率在波动中有所放缓的特征。
葛根等(2009)提供了一种小波分频技术结合 Volterra 自适应滤波器的预测石油价格趋势的方法，分别计算各层时间序列的最佳延迟时间和嵌入维数来重构其空间，最终用 Volterra 自适应滤波器法预测各层时间序列，重构成预测油价。实验证明该方法比直接混沌时间序列全局预测和一阶局域预测的精度更高，可预测范围更大。
张华等(2010)的分析研究中提出基于二进正交小波变换和残差 GM(1，1)-AR 方法的非平稳时间序列预测方案。首先利用Mallat 算法对非平稳时间序列进行分解和重构，分离出非平稳时间序列中的低频信息和高频信息；其次对高频信息构建自回归模型，对低频信息则用灰色残差模型进行拟合；最后将各模型的预测结果进行叠加，从而得到原始序列的预测值。该方法不仅能充分拟合低频信息，而且可避免对高频信息的过拟合。实验结果表明，这种方法比传统的非平稳时间序列预测方法具有更高的预测精度。
杨天宇等(2010)提出新的时间序列分析方法—小波降噪方法，利用 1992-2009 年间的季度数据，估计了中国的产出缺口。估计结果将小波降噪、HP 滤波、BK 滤波、UC 卡尔曼滤波、SVAR 方法估计的产出缺口进行了比较。显示小波降噪方法具有更强的预测通货膨胀能力，能准确反映中国 1992 年以来的经济周期波动，而且具有较好的稳定性。
陈红霞等(2011)运用小波多分辨分析方法，实证检验了我国1996-2010 年间同业拆借市场利率期限结构对通货膨胀的预测性能。结果表明：小波方法能够准确地揭示我国市场利差和通货膨胀的发展趋势，有利于辨识它们之间长期的因果关系[12]。
叶青等(2012)应用小波变换模极大值方法分析在次贷危机中美国证券市场的突变情况。研究发现，小波模极大值方法准确定位了金融资产价格异常点的具体时刻：检测出了 2 类奇异点，这些奇异点对应了美国次贷危机主要发展阶段的重大经济事件，反映出危机中美国经济系统异常对金融市场造成的影响[13]。
周博等(2013)利用 Mallat 算法将金融时间序列分解成一个低频信号和若干个高频信号；对不同频率的时间序列建立多维泰勒网动力学模型；通过共轭梯度法训练模型参数，并进行预测；将各模型的预测结果进行叠加，得到原始序列的预测值。实验结果表明，这种金融时间序列预测方法具有较高的预测精度和预测方向正确率。
四、数据来源和统计分析
居民消费物价指数 CPI，又称“生活费用指数”，反映一定时期内居民所购买的生活消费品 （包括货物商品和劳务） 的价格变动趋势和程度的相对数，是对城镇居民人口消费价格指数和农村人口居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果，理论上通常被认为是描述通胀水平的最常用数据指标。CPI 指数可以观察和分析普通商品的零售价格和劳务价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度，它是政府制定物价水平和确定工资多少等宏观政策的重要依据，当前所有国家都编制这种指数。
CPI 既能较为准确地反映经济发展的现实，也具有国际通用的特点，有可操作性和时效性。基于此，文章选择 CPI 作为衡量通货膨胀水平的指标。我国农业类上市公司主要包括传统农业、饲料企业、种子企业、养殖类企业等类型，是目前我国良好业绩的农业类的代表性公司。农林指数以数值的形式反映了以农林牧渔等行业为主的上市公司平均交易价格水平，选择以月度数据为观察数据，这样与 CPI 月度数据统计口径一致。
因小波理论应用于多尺度分析需要的样本数量为 2n，n 为自然数。文章样本期间选择 n=6，样本数为 64 个。时间跨度从2007 年 6 月到 2012 年 12 月。CPI 数据来源为财新网统计数据库，农林指数月度收盘价数据来源于中经网统计数据库。
农林指数月度收益率 Rt定义为：Rt=lnpt-lnpt-1(3)其中，pt为 t 月份的农林指数指数月度收盘价。表 1 给出了 CPI和农林股票收益率R 的描述性统计量。无论是 CPI 还是 R， 样本峰度(Kurtosis)都大于 3，说明于正态分布，或者说有更厚的尾部，属于尖峰分布。无论是 CPI 还是 R，其 JB 统计量的 P 值都较小，说明这两个变量的分布明显不同于正态分布。下面对 CPI 和 R 进行平稳性检验。利用计量经济学Eviews 软件对 CPI 进行 Augmented Dickey-Fuller 检验。其检验式 （检验时不包括趋势项和截距项） 表示为：△CPIt=-0.570909CPIt-1(-4.99) DW=2.15ADF=-4.9934，而统计量在检验水平为 1%、5%和 10%下的临界值分别为：-2.6、-1.946、-1.61。ADF 统计值都小于这三个临界值，消费者价格指数 CPI 是一个平稳时间序列。对农林股票收益率 R 进行 Augmented Dickey-Fuller 检验，同样地，检验式中不包括趋势项和截距项。其相应的检验式可以表示为：△Rt=-0.92Rt-1-0.01669△Rt-1(-7.29) DW=2.01ADF=-7.283，而统计量在检验水平为 1%、5%和 10%下的临界值分别为：-2.6、-1.946、-1.61。ADF 统计值都小于这三个临界值，所以农林股票收益率 R 也是一个平稳时间序列。
五、多尺度关系实证分析
现运用小波函数对通货膨胀率和农业股票收益率这两列时间序列进行小波变换，将其分解成不同尺度的成分。常见的小波函数是 Harr 小波、Symlet 小波、Daubechies 小波、Meyer 小波等。针对不同的问题类型，可以选择不同的小波函数。文章研究采用 Daubechies 正交小波对 CPI 和 R 进行分解。
小波分解后第一层尺度为 21，是周期 1~2 个月的分量，即频率为 0.5~1 的分量；第二层尺度为 22，是周期 3~4 个月的分量，即频率为 0.25~0.5 的分量。小波分解的前两层周期为 1~4个月，是时间序列中的季节因素和不规则分量，第 3 层到第 5层为时间序列的周期波动分量。第三层尺度为 23，是周期 5~8个月的分量，即频率为 0.125~0.25 的分量，可视为短期波动。
第四层尺度为 24，是周期 9~16 个月的分量，即频率为0.063~0.125 的分量，可视为中期波动。第五层尺度为 25，是周期 17~32 个月的分量，即频率为 0.031~0.063 的分量，可视为长期波动 （见图 1）。
为了找出股票收益率 R 和 CPI 在不同尺度下的相关关系，分别建立一元线性回归模型，R=b0+b1*CPI+ε，估计结果如表 2。
从实证结果看，拟合优度 R2随着研究尺度的增加，其值也在增加，当分析周期达到 32~64 月时，R2达到 0.7889。通货膨胀率与股票收益率在不同尺度下呈现不一致的关系。在中尺度（17~32 月） 和大尺度 （33~64 月） 的分析周期上，两者具有统计意义上显着地正相关关系，符合费雪提出的关于实际利息率独立于通货膨胀率的假说，并且可以看到在分析周期最大时，相关系数 b1达到最大为 18.76。而在短尺度 （0~16 月） 分析周期上，两者又具有统计意义上的负相关性。
六、研究结论及分析
当前资本市场尤其是股票市场已成为各国投资者关注的投资重点市场。通货膨胀水平与某一类特定股票的收益率之间存在的定量关系，决定了股票市场能否起到投资者所期望的保值、增值效果。在此基础上，对投资者的投资类型以及投资期限提出指导性参考意见，这些内容都是投资者与学者所关注的热点问题。
从经济原理上看，通货膨胀会对股票这类金融资源产生影响。通货膨胀表现的价格变化会对资源进行重新配置，对投资、消费等经济活动均产生影响，因而对于农业类上市公司股票这种资源来说也受其影响。
第一，从短尺度分析周期看，通货膨胀可能会产生货币幻觉效应和财富收入效应，这种效应对农业类股票收益产生影响。Modigliani 等提出的货币幻觉假说认为投资者会犯主观评价错误，即由于通货膨胀的原因，通常会低估农业股票价值，从而导致投资人低估了通货膨胀时期的农业上市公司权益资产价值，造成农业股票报酬率与通货膨胀率之间的负相关关系。另外，财富收入效应认为从短期看通货膨胀的发生会引起工资不同程度的上涨，工资上涨会让投资者暂时产生自认为的收入增长现象，人们在短期内会认为自己的财富增长，而增加一部分消费。这种效应有可能使人们的可支配收入减少，导致减少对农业股票市场的投资，这样通货膨胀的财富收入效应对股票收益的影响是反向的。货币幻觉效应和财富收入效应这两个理论复习表明了农业股票报酬率与通货膨胀率之间的反方向关系。与文章实证结果是相符、一致的。
第二，从中尺度分析周期看，通货膨胀的产出效应会对农业股价产生正方向的影响。在资源的产出量还没有达到社会最大化水平时，国家的宏观经济层面出现了轻微通货膨胀现象，其名义工资在中等时间尺度，即一两年时间内会上升，而实际工资则表现为下降，农业类上市公司会增加生产要素投入，扩大再生产，使得企业的实际利润增加，于是农业类股票价格就会伴随企业利润增加而上升。另外，在中尺度 （17~32 月） 时间范围内，人们对通货膨胀的预期，将导致普通债券预期价格下跌，对资本市场构成利好。理性投资者会将资金从债券市场转移股市，可能会特别关注国家普遍扶持的农业类上市公司。综合这两方面的分析，在中尺度分析视角下，通货膨胀作用于农业股票收益率的方向是正向的，与文章的实证结果相符。
第三，从大尺度分析周期看，通货膨胀预期会对农业股价产生影响。经典的费雪效应理论表明了股票收益率与通货膨胀率应该呈正相关关系。近似地，可以认为名义股票收益率等于实际收益率与预期通货膨胀率之和。从较长时间的分析周期看，农业股票代表农业上市公司的实际资产的所有权，通货膨胀可以引起农业上市公司的业绩增长，农业股票收益率也应增加，农业股票可以作为通货膨胀的一种保值手段。这样从大尺度分析通货膨胀预期对股价的影响，两者是正方向的，文章的实证分析结果支持了费雪效应假说。
小波分析理论具有时间序列多分辨率分析的特点，已广泛地应用于信号处理、图像压缩、模式识别、复杂数值分析和大气空间科学等众多一般非线性科学领域。其多分辨率方法在时- 频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口固定不变大小，其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。运用小波分析的基本理论方法，研究通货膨胀率与农业股票收益率在不同尺度下的相关关系，得到在中尺度（17~32 月） 和大尺度 （33~64 月） 的分析周期上，两者具有统计意义上显着地正相关关系，支持了费雪效应假说；而在短尺度 （0~16 月） 分析周期上，两者又具有统计意义上的负相关性，出现了费雪效应悖论。
