三上义夫(1875-1950,后文简称三上)是国际上最著名的东亚科学史家之一,他最早对中国数学史进行现代意义上的研究,有许多真知灼见,其中不少看法已经成为中国数学史研究领域的定论,他的一些研究方法对中国数学史的研究至今仍有启发意义.同时,我们也发现,他的一些研究并不为国人所知,有的还被做重复研究.本文选取三上对《九章算术》阳马术刘徽注的研究作为案例,系统阐述他对阳马术刘徽注的研究成果并揭示他对中国数学史相关研究的推动作用.这个案例也是以前关于三上的研究所没有深入展开的,本文对此进行一个补充.三上对阳马术刘徽注的研究是基于中国清代学者李潢的相关研究,本文将李潢所引阳马术刘徽的注文置于文章开始,作为讨论的基准文献,同时为了行文方便,对其中语句用字母进行了编号.注文如下:
(a)其使鳖臑广、袤、各高二尺,用堑堵、鳖臑之棊各二,皆用赤棊.又使阳马之广、袤、高各二尺,用立方之棊一,堑堵、阳马之棊各二,皆用黑棊.棊之赤、黑,接为堑堵,广、袤、高各二尺.
(b)于是中效其广,又中分其高.令赤、黑堑堵各自适当一方,高二尺、方二尺,每二分鳖臑,则一阳马也.
(c)其余两端各积本体,合成一方焉.
(d)是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一.
(e)虽方随棊改,而固有常然之势也.
(f)按余数具而可知者有一、二分之别,即一、二之为率定矣.其于理也岂虚矣.若为数而穷之,置余广、袤、高之数各半之,则四分之三又可知也.半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?数而求穷之者,谓以情推,不用筹算.
(g)鳖臑之物,不同器用,阳马之形,或随修短广狭.然不有鳖臑,无以审阳马之数,不有阳马,无以知方亭之数,功实之主也.李潢的研究李潢(?-1812),字云门,钟祥人.乾隆三十六年(1771)进士,后在四库全书馆中以翰林编修充任总目协纂官,官至工部左侍郎.
他著有《九章算术细草图说》(9卷),以孔继涵刻、戴震校、微波榭本《算经十书》之《九章算术》为底本,由按、草、说、图构成.李潢在《九章算术细草图说》中对上述阳马术刘徽注进行了研究.在校勘方面:
(1)指出(a)中“各高”为“高各”之误;
(2)指出(c)中“两棊”误作“两端”;
(3)指出(g)中“方亭之数”按宋本作“锥亭之类”,盖方锥、圆锥、方亭、圆亭形体不一,故云“类”也;
(4)怀疑“按余数具而可知者”至“安取余哉”疑文有错误,不敢强为之说;
(5)怀疑“功实之主”亦有脱文.李潢在术文解读方面:
(1)指出此段阳马术刘徽注要申明阳马居二,鳖臑居一之理;
(2)解释了其中的拼合方式,即如何以赤棊四、黑棊五拼合成立方四.他认为各以一赤鳖臑接一黑阳马构成两堑堵,合成一方;以一赤堑堵和一黑堑堵合成一方,有两个;原有黑立方一个;
(3)认为阳马中原有的一个黑立方,是通其体而方者率居一.其他拼合的三个立方,是别种而方者率居三.从现代的研究成果来看,李潢尚有几个重要之处没有校勘出来.以文献为参照,(b)句“于是中效其广”后应补“袤”字,“高二尺、方二尺”的两“二”字应为“一”,(c)句中 “两端”不误,李潢改作 “两棊”不妥.李潢校勘第(4)、(5)两条以及术文解读第(3)条有误,说明他尚未看懂分割的极限过程,没有弄清鳖臑、阳马之比为何为1∶2,以及鳖臑、阳马是推求锥、亭程功积实的基础.对于李潢提出的4个小立方的拼合方式目前尚存争鸣.
2、三上的研究三上于20世纪30年代在他的博士论文第29节对阳马术刘徽注进行了深入研究,他的成果主要体现在校勘、补图说明和数理解读三个方面.
2.1校勘方面三上认为李潢的解说精细、参照方便,不过并未接触到要点.他认同李潢(1)、(2)两条校订,但以郭书春汇校《九章算术》为参照,第(2)条校订有误.他指出(b)句中“两分”是“两个”的误写,此处校勘有误,导致他理解错误,解释成“两个鳖臑合成一个阳马”.实际上是分割之后,得到一个黑立方和由两个赤、黑堑堵合成的立方,共计3个立方.由这3个立方来看,由鳖臑组成立方的2倍等于由阳马组成的立方,也就是赤棊的2倍等于黑棊.对于(f)句,他不认同李潢的观点,认为此句最重要,没有错误.
2.2补图说明三上在文献中给出了阳马、鳖臑以及堑堵的分割、拼合图(图1~图3),并对图示进行了说明.他指出,作广、袤、高各二尺的阳马和鳖臑,对其进行分割,前者分割成1个小立方,2个小堑堵和2小阳马(图1),后者分割成2个小堑堵和2个小鳖臑(图2),二者并在一起构成一个堑堵(图3).这里构成阳马的五棊是黑色的,构成鳖臑的四棊是红色的.应该说,三上是最早正确地给出阳马和鳖臑的分割、拼合图的学者.
2.3数理解读方面三上对这段注文给出了两种数理解读.(1)他提到把赤黑两堑堵合成1个小立方.他指出堑堵(图3)由4个小立方构成,即原有的1个小立方与合成的3个小立方.他用算式表示为(阳马)=(小立)+2(小堑)+2(小阳)=2(小立)+2(小阳),(鳖臑)=2(小堑)+2(小鳖)=(小立)+2(小鳖).然后,他从上述两式之和中减去3个小立方,得到(小立)=2{(小阳)+(小鳖)}.三上指出(d)句是对上述3个小立方和1个小立方关系的阐述.对于(e)句,李潢虽然没有阐述,但是提到不限于广、袤、高各二尺,任何情况都成立同样的关系.他还指明(f)句将方二尺之物二分,做成方一尺之物,揭示了关键.之后,他以此类推,对于所得的小阳马和小鳖臑,继续二分其广袤高,求得与前面同样的关系.他把前面得到的小立方、小阳马、小鳖臑……分别记为立1、阳1、鳖1……,接下来得到的记为立2、阳2、鳖2……时,得到如下关系:阳=2立1+2阳1,鳖=立1+2鳖1,阳1=2立2+2阳2,鳖1=立2+2鳖2,……他指出,如此无限继续下去便可得出结果.因为余数逐渐变小,不是发散的(数列),因此可以用算式表示为【公式1】
三上由此得知阳马是鳖臑体积的二倍.他指出注文中有“四分之三”的说法,依据上面的关系,阳马、鳖臑的四分之三分别是2个小立方和1个小立方的关系.他还指出上面所记是试着进行代数化演算,无限等比级数也做了代数化处理,但是,不一定必须去做代数演算,也可按下面的推论得出,于是他又给出第二种解说.(2)大阳马由2个小立方和2个小阳马构成,大鳖臑是1个小立方和2个小鳖臑构成.这样,只是立方构成的部分是二比一的比例.接着小阳马和小鳖臑仍然有同样的关系.所以前面的小立方加上现在得到的第2个小立方,立方和构成的部分仍然是二比一,余数是个数相同的小阳马和小鳖臑.此推论如此反复,余数逐渐变小以至无形.所以是二与一之比.三上认为无论如何使用无限等比级数之事没变.他认为(f)句阐述了等比级数的使用,其中提到的“半之弥细.至细曰微.微则无形.由是言之.安取余哉”便是极限的应用.他还指出“安取余数哉.而求穷之者……”是传抄错误.三上认为到了算定其极限,有“谓以情推,不用筹算”,由此他判定并不是进行了如上述第一种解释的代数演算,而是从第二种解释中推断出来的.他虽然给出两种解读,但是从三上行文来看,我们认为他倾向于第2种解读.
因为三上说,“没有明确地尝试如上所记的代数演算,是如第二种解释得到的推论”.三上义夫的两种解释的主要区别是第1种使用了代数演算,第2种是“谓以情推,不用筹算”.在第1种解释中,他一开始提到赤黑两堑堵合成1个小立方,但是从第1种解释后面运用的代数运算和第2种解释来看,他实际上都是将同色堑堵进行了合并,按照三度相等的情况进行的证明.三上多次提到李潢的解说,指出他虽然没有对“虽方随棊改,而故有常然之势也”进行解释,但是李潢说了不仅是广、袤、高各二尺,任何情况都有同样的关系成立.
由此可见,三上义夫注意到三度有可能不等的情况.但通其文而观之,是按照三度相等补图和解说的.对于(g)句,三上义夫指出虽然鳖臑和阳马形状、长短不定,但是不根据鳖臑就无法求出阳马之体积,没有阳马就无法求出锥、亭之体积,鳖臑、阳马是“功实之主”.他认为这个推论是最基础、最重要的.此外,他指出刘徽的商功注当中有如上所述使用无限等比级数证明体积的尝试,刘徽阐述的这个算法很符合逻辑.
3、华道安的研究以及他对三上研究的某些重复这一问题在近50年后的1979年,才由丹麦学者华道安(D.B.Wagner)在文献中重新提出.华道安也正确给出了阳马和鳖臑的分割图,指出这个公式旨在验证一般情况,但是论述的却是三度相等的情况,读者有必要延伸讨论下一般情况.之后,该文分别对三度相等和三度不等的情况进行了讨论.他说“把红色堑堵拼合在一起可以形成一个红色立方,把黑色堑堵放在一起形成一个黑色立方.在一般的情况下,这些堑堵不能拼合.但是,在每种情况下,两个堑堵的体积和都等于一个长宽高均为原来堑堵(阳马和鳖臑拼合的大堑堵)长度一半的立体的体积”.他对特殊情况和一般情况分别讨论了在四分之三的体积中红棊和黑棊的体积比为1∶2.对于余下的部分,他指出用二等分其长宽高,又可得知其中的四分之三有此比例.穷尽这个推算过程便可证明.由于华道安没有注意到文,导致有些工作实际上做了重复研究.但他没有停留于此,对阳马术刘徽注三度不等情况的引申讨论是对这一问题的延展.此外,华道安还特别提到了德恩的工作,指出德恩1900年证明了必须使用求极限的方法来证明锥体的体积.他指出,刘徽虽然对极限的概念理解上存在困难,但是事实上已经使用了一个极限的过程.他对刘徽工作的评价很客观.我国数学史家、《九章算术》研究权威郭书春先生曾比较客观地提到过华道安和三上的工作.他说自己在1979年夏末攻读到商功章阳马术刘徽注时,对其极限过程也弄不明白,但是,经过多次用实物分割拼合,校补了几个字,到11月份,终于明白了其极限过程.在同年12月从李文林那得知丹麦华道安已解决了阳马术刘徽注,发表在《国际数学史杂志》1979年第6期上.于是郭书春到北京图书馆查阅华道安的文章.关于三上,郭书春提到:“三上义夫的工作发表于30年代,但一直未引起李、钱二老和中国数学史界的注意.我不懂日文,当时对日文研究文献关注不够.后来看到三上义夫的文章.”
由此可见,我国学者最早关注到的是华道安的工作,而不是三上的工作.文献一方面将阳马术刘徽注的术文解释清楚,指出其中的极限思想和方法;另一方面在一定程度上使三上的工作引起我国学者的注意.华道安在该篇文章的参考文献中列有三上的《中日数学发达史》,此外在文末注解第1条中也提到:“用西方语言所写的著作中以下几部是最好的:李倍始[1973];尤什凯维奇[1964];李约瑟[1959];三上义夫.目前最好的著作是钱宝琮[1964].”我国学者注意到三上义夫的工作或许与此有关.
4、国内近代学者的研究与三上的影响
1963年,钱宝琮对阳马术刘徽注的研究主要体现在校勘方面.与李潢校勘第(1)条相同,指出各本俱讹作“各高”,依戴震改正,作“高各”;与李潢校勘第(2)条相同,指出各本俱作“两端”,依殿校本改作“两棋”;与李潢校勘第(3)条相同,校作“锥亭之类”,他同时指出“类”殿本作“数”.对于(f)句李潢说“‘按余数具而可知者’至‘安取余哉’疑文有错误,不敢强为之说”,钱校本未敢改动,说“今悉仍旧贯,未予校勘”.
此外,(f)句“谓以情推”与李潢校勘相同,同时指出“情”,南宋本作“精”,此从殿本.由上可见,钱宝琮与李潢一样,在校勘方面尚有几个重要之处没有校订出来,对李潢存疑之处钱宝琮将其作为一个未解决的问题遗留下来.这说明钱宝琮当时也未看懂阳马术刘徽注.郭书春在1980年初也重新考察了阳马术刘徽注.郭书春指出,“清李潢未看懂这个证明,疑‘按余数具而可知者’以下有脱误.日本学者三上义夫1934年弄懂了这个过程,提出了两种拼合解释,一如本文所述(阳马的两小堑堵分别与鳖臑的两小堑堵拼合),一是阳马中两小堑堵相拼合,鳖臑中两小堑堵相拼合,他倾向于后者.三上的解释未引起后人重视.钱宝琮仍引用李潢之说.丹麦华道安重新考察了这个问题,并作校勘,提出了三上所倾向的拼合方法.
郭书春指出刘徽此段文字本意在于证明三度不等的情形,此时两小红堑堵(两小黑堑堵)并不全等,是无法拼合在一起的.刘徽使用了特殊的棊大约是受了案头所使用的棊的限制.郭书春对“虽方随棊改,而故有常然之势也”进行了论证,讨论了华道安提出的一般情况,延伸和发展了这一问题.白尚恕也研究过此问题,他撰写的《<九章算数>与刘徽的几何理论.白尚恕认为刘徽“验之以棊”是用三度相等的阳马与鳖臑推导,同时指出即使阳马与鳖臑的三度有所变化,刘徽的论说方法并不失其一般性.白尚恕与郭书春在验证三度不等时拼合小立方体的方法是一致的.此后,白尚恕也用与三上义夫同样的代数运算方法对三度不等的情况进行了论证,最后求极限得出阳马与鳖臑体积比为2∶1.
显然,白尚恕受到三上义夫的影响.李迪在讨论刘徽在几何方面的贡献涉及阳马和鳖臑时,应用了李俨的观点:对于等高的阳马和鳖臑两种立体,刘徽也进行了类似研究.他认为用平面去截一个立方体分解出来的两种立体时,如果截面的面积之比为2∶1,那么它们的体积之比也是2∶1.他指出,刘徽在体积研究中用到了极限观念.李迪等的《〈九章算术〉在国外》.文中特别提到:“在三上义夫的著名的博士论文中,曾用好几节的篇幅论述刘徽的工作……在第二十九节中,三上义夫认为刘徽的方锥算法中包括‘无限等比级数关系’,在这里再一次提到刘徽的极限思想,发现刘徽关于斜解一个长方体所得阳马与鳖臑的体积之比为二比一,还特别指出刘徽所说‘谓以情推,不用筹算’这句非常重要的话……综上所述,可见三上义夫对《九章算术》和刘徽注的研究取得许多很好的成果,贡献是相当大的.”
沈康身在《九章算术导读》中也参考了文献.他指出“由于插图久佚,本题刘注很难理解,日本三上义夫论文共30节,计168页.其中第29节《魏刘徽方锥证明》对上述刘注补图并解释,借助于《原本》对三棱锥分割方法把刘注讲解清楚.……三上论文发表近半个世纪之后,丹麦汉学家华道安对之作了与三上相同的疏注.20世纪80年代以来我国数学界都认为对刘注作如此理解是合适的”.沈康身的解释是将红棊与黑棊拼成的长宽高各为2尺的大堑堵的长宽高各自等分,红堑堵和黑堑堵各自拼成立方体.
同时,他指出刘徽注认为长宽高各不相等的情况做类似分割,按法截出的鳖臑和阳马的体积关系仍成立.之后,他用类似于三上义夫的代数运算方法对三度不等的情况中阳马和鳖臑的体积比进行了证明.李继闵对刘徽原理也进行了研究.他不同于别人的地方,是把“高二尺,方二尺,每二分鳖臑则一阳马也”校改为“高一尺,方二尺,每二分鳖臑则一阳马也”.他是将原来的黑阳马和赤鳖臑构成的赤黑大堑堵上下两层分离开来,然后通过翻转,将上层的赤堑堵和下层的黑堑堵拼接,其余部分拼接,则赤黑大堑堵整体转化成一个“高一尺,方二尺”的长方体.他也特别指出,刘注虽用的标准棊,但这种分割与拼合方法对于任意三度不等的情形都适用.李继闵关于刘徽用极限观点来论证的解说与三上义夫的第2种解说基本一致.
5 、三上义夫对阳马术刘徽注研究的意义和影响
首先,三上对李潢、钱宝琮未能全部弄清的“阳马术刘徽注”术文最早给出了基本正确、全面的解读,他的研究成果比华道安和我国学者早了近半个世纪.三上的名字是通过华道安引起我国学者关注的,进而他的研究成果才被我国数学史家所重视,并且得到认可和发展.其次,三上最早将“阳马术刘徽注”中的极限思想和方法进行论证,这在《九章算术》研究史上实属首次.从现在的认识来看,尽管三上的工作存在一些不足和错误,但这些成果代表了20世纪前期有关《九章算术》及其刘徽注研究的最高成就,占有特别重要的地位.最后,三上的研究揭示出“阳马术刘徽注”已经用极限方法论证阳马和鳖臑体积比为2∶1以及由鳖臑、阳马可以推求锥、亭的体积.马克斯·德恩(Max Dehn)在1900年论证必须利用求极限的方法证明四面体的体积,而刘徽在推求锥体体积时已经使用了极限方法,这说明刘徽在1 600多年前就取得了重大进展.
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