摘要：数学以实践为源头， 又以实践为终结， 扎实的数学理论知识和灵活的数学思维， 都是为了将数学知识运用于解决实际问题中， 形成合理的思维模式。初二， 学生学习有关三角形的几何证明题， 做题的时候， 我发现许多学生不能把理论和实际操作有效的结合， 证明思维混乱。因此本文仅对初中二年级下册《有关三角形全等的几何证明题》思维模式作一探讨和总结。
关键词：初中数学； 几何证明；
1 正向思维：分析题目中的每一个重要条件， 产生结果， 寻找关系入口， 逼近问题
1.1 已知线段相等， 怎样用
例1:已知如图1, 在△ABC中， AB=AC, 点D, E在边BC上， 且BD=CE.求证：∠ADE=∠AED.
图1
图2
分析：已知线段AB=AC, 标在图上观察， 这两条线段集中在同一个三角形中， 那么等边推等角， 得到∠B=∠C.已知线段BD=CE, 标在图上观察， 这两条线段没有集中在同一个三角形中， 那么找三角形， 证明ΔABD和ΔACE全等。得到AD=AE, AD、AE这两条线段在同一个三角形中， 等边推等角∠ADE=∠AED.或由全等得到∠ADB=∠AEC, 再去推导∠ADE=∠AED.
1.2 已知线段的垂直平分线， 怎么用
例3:如图2, 在ΔABC中， AB=AC, ∠BAC=120°， EF为AB的垂直平分线， EF交BC于F, 交AB于E.求证：CF=2BF.
分析： （1） 、AB=AC, ∠BAC=120°知道∠B=∠C=30°， 这里许多学生一下子可能考虑不到AB=AC跟∠BAC=120°之间的关系， 教师可引导学生逐步分析、发现、总结； （2） 、EF为AB的垂直平分线， 优先考虑特征， 连接AF, 则AF=BF, 一条线索走到底， 那么∠BAF=∠B=30°， 则∠FAC=120°-30°=90°， ∠AFB=120°、∠AFC=60°；在直角ΔAFC中， ∠C=30°， 敏感30°所对的直角边等于斜边的一半， 因此AF=CF, 转化为2倍关系则CF=2AF, 即CF=2BF.
1.3 已知角的角平分线， 怎么用
已知角平分线， 要么“走定义”, 要么“走特征”.定义：给两个小角“起名字”∠1, ∠2等等， 则两个小角相等， 等于大角的二分之一。特征：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2 逆向思维：从问题出发， 推导分析， 向已知条件靠拢
2.1 求证两条线段相等， 怎么操作
基本方法：若求证的两条线段没有在同一个三角形中， 那么可以围绕求证的两条线段找三角形， 证明三角形全等。若求证的两条线段， 在同一个三角形中， 也可以通过证明等腰三角形来说明这两条线段相等。
其他方法：求出这两条线段的长度；或借助“中间关系”, 例如找第三条线段， 证明这两条线段都与第三条线段相等。或借助“方向”, 例如借助要求证的这两条线段所在的“方向”, 证明还存在两对其他线段上的相等关系， 通过“加”或“减”再证明这两条线段相等。
2.2 求证两个角相等， 怎么操作
基本方法：若这两个角没有在同一个三角形中， 那么围绕这两个角找两个三角形， 证明全等。若这两个角在同一个三角形中， 那么也可以证明等腰三角形来求证这两个角相等。
其他方法：求出这两个角的度数；或借助“中间关系”, 例如找第三个角， 证明这两个角都与第三角存在关系。或借助“平行关系”由两直线平行推导“三类角”, 例如两直线平行， 同位角相等；两直线平行， 内错角相等。
例2:如图3, D是等边ΔABC的边AC上的一点， 且BD=CE, ∠ABD=∠ACE.求证：⑴、ΔADE是等边三角形。⑵、∠DBC=∠DEC.
图3
图4
分析⑴：已知等边ΔABC, 则AB=AC=BC, ∠BAC=∠ACB=∠CBA=60°；已知BD=CE, 标在图上观察， 这两条线段没有在同一个三角形中， 找三角形证明ΔABD和ΔACE全等；已知∠ABD=∠ACE, 标在图上观察， 这两个角度没有在同一个三角形中， 则还是指向证明ΔABD和ΔACE全等。用SAS证明全等， 得到AD=AE, ∠BAD=∠CAE=60°；最后证明ΔADE是等边三角形。
⑵：“走关系”重新加工的方法。已知∠ABD=∠ACE, ∠ABD、∠ACE都是60°的一部分， 则60°-∠ABD=60°-∠ACE即∠DBC=∠DEC. （求证∠DBC=∠DEC, ∠DBC是60°的一部分， ∠DBC=60°-∠ABD=60°-∠ACE.观察图， 外角定理60°-∠ACE=∠DEC.所以∠DBC=∠DEC.）
2.3 求证线段的垂直平分线， 怎么操作
第一种做法：定义。既证明垂直， 又证明平分。
第二种做法：特征的逆定理。到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
例4:如图4在ΔABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB, 垂足为E, DF⊥AC, 垂足为F.求证：AD垂直平分EF.
分析：已知AD平分∠BAC, 走定义∠BAD=∠CAD, 走特征ED=FD.不论走定义还是走特征， 都能证明ΔAED和ΔAFD全等， 得到AE=AF, 所以点A在线段EF的垂直平分线上。因为ED=FD, 所以点D也在线段EF的垂直平分线上， 因此AD垂直平分EF.
第二种做法：考虑定义的证明方法。
2.4 求证角平分线， 怎么操作
第一种做法：定义。证明两个小角相等。
第二种做法：特征的逆定理。到角平分线两边距离相等的点， 在这个角的角平分线上。
理论和实践的结合， 靠的就是思维。有了正确的思维方法， 可收到事半功倍的效果， 只要学生掌握了思维模式方法， 就不会做一些盲目、无效的劳动， 而是有的放矢、自觉地运用总结、归纳出的方法解决问题， 就会少走很多弯路， 把学习活动变成一种有目的、有意识、有趣味的活动， 使学生善思、乐学， 体会数学的情趣。
