当前各个学科相互渗透、相互融合已经成为发展的必然趋势。物理作为一门自然基础学科也不是孤立存在，越来越多地融入了控制理论进行分析。许多物理现象，例如在椭圆轨道运行的人造卫星，小车上的柔杆运动，都可以简化为惯量－阻尼－弹簧系统运动。本文针对惯量－阻尼－弹簧运动进行动力学分析，并利用ＰＩＤ控制方法研究其特性。
受外加扭矩的惯量－阻尼－弹簧系统的模型如图１所示，其弹簧劲度为ｋ，阻尼系数为ｄ，外加扭矩为ＴＣ，转子的转动惯量分别为：Ｊ１和Ｊ２，转角分别为：θ１和θ２。
１运动建模
由图１所 示，列 出 该 系 统 的 动 力 学 方 程为：
Ｊ１¨θ１＋ｄ（?θ１－?θ２）＋ｋ（θ１－θ２）＝ＴＣ
Ｊ２¨θ２＋ｄ（?θ１－?θ２）＋ｋ（θ１－θ２）＝０（１）
当转动惯量Ｊ１＝１，Ｊ２＝０．１时，该系统的传递函数为：
根 据 式１， 选 取 状 态 参 数 如 下：
ｘＴ=［θ２?θ２θ１?θ１］；式１，可以用矩阵３来表示，其中ＴＣ≡ｕ。
为了便于对该系统分析，假设弹簧劲度为ｋ的变化范围：
０．０９≤ｋ≤０．４，选取ｋ＝０．０９１；阻尼系数为ｄ的变化范围：
选取ｄ＝０．０３６。矩阵（３）变为矩阵（4）。
２系统稳定性分析
系统能在实际中应用的首要条件是系统要稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要部分。经典控制理论对与判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。本文主要应用Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据和Ｂｏｄｅ图判据两种方法来对系统进行分析。
２．１利用稳定判据分析系统稳定性
２．１．１ Ｎｙｑｕｉｓｔ判据
由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，Ｐ ＝０，故只要看开环Ｎｙｑｕｉｓｔ轨迹是否包围点（－１，ｊ０），若不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统Ｐ≠０时，先求出其Ｐ，再看开环Ｎｙｑｕｉｓｔ轨迹包围点（－１，ｊ０）的圈数，若是逆时针包围点（－１，ｊ０）Ｐ圈，则系统稳定。
图２是该系统的根轨迹图。从图２可以看出，该系统Ｐ≠０，Ｐ＝１，但Ｎｙｑｕｓｉｔ轨迹没有包围点（－１，ｊ０），而是放射状，因此该系统不稳定。
２．１．２ Ｂｏｄｅ图判据Ｂｏｄｅ图同样可以利用它来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据。对于稳定系统，相位裕度必在Ｂｏｄｅ图横轴以上，而且要具有相当的稳定性储备。对于稳定系统，幅值裕度必须在０分贝线以下，Ｋｇ（ｄＢ）＞０，称为正幅值裕度，反之，系统不稳定。
图３是该系统的Ｂｏｄｅ图。从图３可以看出，该系统相位裕度为－１７２°，在Ｂｏｄｅ图之下，具有负的稳定性储备；幅值裕度为－３８．６ｄＢ，具有负的幅值裕度。根据判据，因此该系统不稳定。
２．２ ＰＩＤ校正设计
由于该系统不稳定，因此在实际中是没有任何应用意义。利用ＰＩＤ控制方法，来实现该系统的稳定。ＰＩＤ调节原理简单，使用方便，且ＰＩＤ补偿系统使之达到大多数品质指标的要求。
由图２和图３所反应的该系统的性能。设计一个微分控制器串联在该系统里。根据理想系统的要求，调试该微分控制器，最后确定传递函数为：
Ｄ（ｓ）＝０．００１（３５ｓ＋１）。因此该系统的整体传递函数变为：
ＫＤ（ｓ）Ｇ（ｓ）。
有ＰＩＤ校正后的系统的根轨迹图４和Ｂｏｄｅ图５。从图４中看出，根轨迹图包围（１３５，ｊ０）一圈。
符合Ｎｙｑｕｉｓｔ判据对系统稳定性的要求。从图５中看出，校正后系统相位裕度为５３．８°，在Ｂｏｄｅ图之上，具有正的稳定性储备，且储备充足；幅值裕度为２．１５ｄＢ，具有正的幅值裕度。因此，校正后的系统具有较好的稳定性。
３结论
通过对惯量—阻尼—弹簧系统的动力学建模，利用ＰＩＤ方法对该系统的稳定性进行分析，可以看出，ＰＩＤ校正方法在控制系统的校正中，有着重要的意义，该方法在物理学模型分析中，可以得到广泛应用。
参考文献：
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