摘要：数学是基础类学科, 在社会各领域中都有着十分突出的表现, 在民众日常生活中有着不可取代的地位与价值。信息时代的不断发展, 使得数学与信息技术之间的关联更加密切, 各种数学软件开始出现。本文将通过对数学软件的介绍, 对数学软件在数学建模中的具体应用展开全面论述, 旨在提高数学软件应用水平, 实现理想化数学建模模式。
关键词：数学建模; 数学竞赛; 数学软件; 数学问题;
所谓数学建模是指, 为一特定目的, 按照现实世界特定对象的内在规律, 对其实施必要简化假设, 以通过合适的数学工具得到相应数学结构的过程。数学建模不仅在教学领域中得到了广泛应用, 在工程建设以及其他各个领域中也有着不可取代的价值。为进一步提升国内数学建模整体水平, 确保建模优势能够得到有效发挥, 业界学者开始将各种数学软件运用到了数学建模之中。
1 数学软件
所谓数学软件是指, 制作数学动画与图形、实施数学运算以及运筹规划等行为的软件, 是数学应用工具与数学方法的直观呈现, 可通过数学方法与数学应用对其进行拓展。通过研究发现, 数值计算软件会通过数值方式完成相应问题解答, 总体软件共分为数学软件系统、程序库以及软件包三个级别。其中程序库由各种功能模块以及算法程序所组成;为某种应用设计程序所组成的便是软件包;而软件系统拥有用户界面语言以及管理系统两部分内容, 会通过对具体问题特性以及类型进行分析的方式, 选择出最佳的算法, 以对问题展开精准处理。
与数值计算软件有所不同, 符号运算软件会利用方程式以及符号表达式, 对问题展开演算与推导, 会利用函数展开以及代数演算等功能, 精准展开问题处理。
2 数学软件在数学建模中的具体应用
为对数学软件在数学建模中的应用展开详细研究, 本文将以数学竞赛某一问题为例, 对数学软件具体运用方式进行全面分析。
2.1 应用过程
(1) 竞赛题为“血管的三维重组”, 在此由于时间限制, 对原题目进行省略。题中假设将一些血管视为特殊管道, 球心沿曲线球滚动包络而管道表面。为对建模过程进行简化, 假设管道内所有管道平行切片与轴线都只有一个交点, 且球半径长度固定不变, 切片图像像素尺寸与间距尺寸都为1, 求管道半径与中轴线具体计算方式, 并绘制中轴线平面投影图。
(2) 在对问题进行详细分析之后, 可以发现此题为典型的图像处理题, 题目中图像信息量相对较为庞杂, 单纯依靠人工很难完成建模任务, 需要借助计算机技术对其进行分析, 此时数学软件优势便充分体现了出来。在此将运用Mathematica软件, 对图像信息展开全面分析。在对该软件进行具体应用过程中, 会通过下达Import命令, 将BMP图形“0.Bmp”转化为相应矩阵, 整体矩阵形式为512×512的大型矩阵, 其中白色点对应1, 黑色点对应0, 在下达ReadBMP转换命令时, 白色点队形255, 黑色点对应0。因为整体信息数据量相对较大, 所有数据所具有的价值并不相同, 其中以边界点数据价值最为突出, 可通过对边界点数据进行过滤的方式, 降低整体数据分析任务量, 以通过编程的方式完成边界点过滤任务, 进而按照边界点数据完成三维图形绘制任务。此时管道形象会直观呈现出来, 可通过对软件动画模拟功能的进一步运用, 对管道动态三维图像进行绘制, 并得到相应解题提示。
(3) 在获得相应提示之后, 相关人员需要对问题展开分析。先制作一串球, 并运用一个平面实施切割, 以获得一串圆的切面图形, 而这些圆的包络线便是图形边界。在所有圆之中, 有一个圆半径长度最长, 因为切面与中轴线只有一个交点, 因此以该焦点为中心的平面和球的交线, 便是大圆, 球的半径便是其半径。因为球交线包络线便是切面图形, 园内各点到边界的距离, 以圆心长度最长, 所有圆心边界距离以大圆圆心为最大, 所以在切面和中轴线只有一个交点, 且球半径一定时, 切面图形到边界最大距离点便是切面和中轴线交点。通过该点, 相关人员可以很快计算出, 该点到边界之间的距离, 便是球半径长度。
(4) 在完成相应分析之后, 便可以展开半径与中轴线计算。相关人员可按照前面的分析, 按照寻找每层边界点的方式, 计算出到边界线距离中的最大内点与其到边界之间距离, 进而完成球半径、切片交点位置以及中轴线计算任务。
(5) 在得到中轴线之后, 计算人员要利用ListPlot命令, 完成中轴线在XY、XZ以及YZ平面中的投影绘制, 且要用Fit命令, 完成投影线方程拟合。在此过程中, 计算人员可按照数据点图形, 合理对图形形状拟合曲线种类进行选择, 以对拟合曲线和数据吻合程度进行保证。其中在进行YZ面投影图制作时, 要对反正切函数图形相似的图形分布予以高度关注, 要运用Fit命令, 通过对函数ArcTan的运用, 展开投影方程拟合, 以获得相应图形;在实施XZ平面投影图制作过程中, 可运用ListPlot命令完成中轴线交点投影图绘制, 并要通过对多项式的运用, 完成方程拟合;利用ListPlot命令, 测绘出中轴线交点在XY平面投影图, 且要运用圆方程展开方程拟合。因为所获得的所有的拟合曲线图形, 与计算结果相一致, 所以计算人员可按照具体要求, 完成中轴线参数方程组合。
(6) 在对管道三维图进行重组过程中, 计算人员可通过对三维作图命令ScatterPlot3D的运用, 按照交点坐标完成中轴线交点空间图形制作。同时还可以通过对球心沿中轴线进行滚动的一串球, 展开管道空间重组。
2.2 改进建议
在本次计算过程中, 计算人员只是对像素中心间距离进行了考虑, 若截面与中轴线交点位置不在中心位置, 则此计算方式将不再适用。所以计算人员还要对其他位置的交点计算方式展开分析, 不仅要对交点附近点展开详细分析, 通过重复上述计算过程的方式, 获得准确的交点位置, 同时还要对边界点像素展开深度分析, 要利用上述计算对外边界以及内边界进行获取, 并要运用外边界完成球半径计算。为对整体计算过程进行简化, 计算人员可只针对交点附近像素点展开分析, 并要运用边界点完成中心计算任务, 以通过计算值与边界点中心到外边界距离进行相加的方式, 计算出实际的半径数值。但因为图形数据精度为1, 所以在结果中对像素点展开详细分析, 对小数点后若干位数值进行求取, 价值并不高, 没有必要。
2.3 讨论
此次算法是在实际例子中所产生的, 在进行数学模型建设时, 建设人员需要对模型结果实用性与适用性进行保证, 要确保其能够与实际相符, 以便从具体例子中获取到更加具有普适性的模型。本次问题的计算关键, 是命题1, 但在进行命题1证明过程中, 计算人员却遇到了一定的问题, 其不得不思考, 在相应假设之下, 命题1是否成立, 以确定竞赛题本身的数学表述是否存在问题。
本次例子计算过程, 对数学软件数值计算进行了全面展示, 其在图形处理以及数据处理方面的优势, 也得到了有效发挥。目前国内所使用的Mathematica以及其他软件, 都在数学建模竞赛题解答中得到了有效运用, 其中Mathematica软件, 具有软件大小合适以及寻找参考资料较为简单等方面的优势, 会在数据建模过程中起到十分积极的作用。总而言之, 数学软件在数学建模中有着不可忽视的价值与作用, 只要使用者可以运用得当, 便可以收获到较为理想的建模效果。
3 结束语
通过本文对数学软件相关内容的论述, 使我们对数学软件及其在数学建模中的具体运用方式有了更加清晰的认知。除本文所介绍的数学竞赛运用案例之外, 数学软件还可以应用到工程建设以及其他领域的数学模型建设之中, 可通过对信息技术的科学运用, 实现最优化数学问题解决模式, 能够对最终问题解决质量进行保证, 以达到理想化模型运用效果。所以为确保数学软件所具有的优势能够完全发挥出来, 有关部门要做好人员建模培训工作, 以对人员软件水平进行不断提升, 确保各种数学软件可以真正为人类生活以及社会发展做出更大贡献。
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